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2018年福州屏东与泉七九下质检(一)联考倒一

永泰一中 张祖冬 初中数学延伸课堂 2022-07-16


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已知:点A(ab)在抛物线y=x2-4x+5上,一次函数y=mx+n的图象l经过点A.

(1)当a=3时,求6m+2n的值;

(2)若直线l与抛物线只有一个公共点.

①求m关于a的函数关系式;

②如果直线l与抛物线的对称轴相交于点B,点P在对称轴上,当PA=PB时,求点P的坐标.

【图文解析】

(1)简析:当a=3时,b=32-4×3+5=2=b,得到A(3,2),再代入直线解析式,得:3m+n=2,所以6m+2n-1=2(3m+n)-1=2×2-1=3.

(2)①由于点A(ab)既在抛物线y=x2-4x+5上,也在直线y=mx+n上,因此有:b= a2-4a+5且b=am+n,因此有:am+n= a2-4a+5……(*).

      联立直线与抛物线的解析式(求交点的常法,必须理解明白并掌握哦!),得x2-4x+5 =mx+n整理得:x2-(4+m)x+5-n =0,当直线l与抛物线只有一个公共点时,△=(4+m)2-4(5-n)=0,

      现在应该试着如何画出草图,如何想象出题中的图象?别急着看后面的分析和动态图(插入一段广告,,好好思考,珍惜机会,让自己大胆思考并想象,这样就会提高空间想象能力!)




      先观察动态图,通过观察,要达到两个目标,一是在无图时,能画出符合条件的草图;二是要能想象当a值改变时,图象会产生如何变化,然后抓住关键点进行分析思考;三是通过动态图,目的是通过实际动态与实际想象联系起来,时间久了,自然就会做到“心中有图”. 


(别忘了给作者一个鼓励,点个赞哦!)



下面结合草图进行分析:


标注相关已知条件,如下图示:


不难得到:

      PA2=(a-2)2+(a2-4a+5-t)2

      PB2=(t+a2-4a+3)2

由PA=PB得PA2=PB2

因此有:

(a-2)2+(a2-4a+5-t)2=(t+a2-4a+3)2

如果直接计算,显然计算量惊人,但若适当“换元”(整体替换),将“难受”的式子进行“替换”,再利用平方法差公式就简单多了(算法算理),为此设a2-4a+5-t=p,则a2-4a=p+t-5, p+t= a2-4a+5,同时有t+a2-4a+3=t+p+t-5+3=p+2t-2,原等式可化为(下面是详细化简过程,多数同学其实就败在此处,所以笔者特别详细将过程给出):

(a-2)2+p2=(p+2t-2)2

(a-2)2=(p+2t-2)2-p2
(a-2)2=(2p+2t-2)(2t-2)
(a-2)2=4(p+t-1)(t-1)

(a-2)2=4(a2-4a+5-1)(t-1)

(a-2)2=4(a-2)2 (t-1)

得到(a-2)2[1-4(t-1)]=0

即(a-2)2 (5-4t)=0

又因a-2≠0,

(当a=2时,m=2a-4=0,而一次函数y=mx+n中的m≠0).

所以5-4t=0,

得到t=5/4.

所以P(2,5/4). 



或:

设(a-2)2=s,则有a2-4a+5-t=(a-2)2+1-t=s-t+1,t+a2-4a+3=(a-2)2-1+t=s+t-1.

s+(s-t+1)2=(s+t-1)2

s=(ps+t-1)2-(s-t+1)2

s=2s(2t-2)

(根据平方差公式)

s=4s(t-1)

s(5-4t)=0

……,

下同.

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